Die Einführung der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine Möglichkeit, die Theorie der natürlichen Zahlen zu begründen. Dieser Weg wird in dem nächsten Abschnitt beschritten.

Als Alternative kann man bei den reellen Zahlen axiomatisch einsteigen und die natürlichen Zahlen als Teilmenge von definieren. Dazu benötigt man zunächst den Begriff einer induktiven Menge.

Eine Menge M heißt induktiv, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. 0 ist Element von M
2. Ist x Element von M, so ist auch x+1 Element von M

Dann ist der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von == Peano-Axiome ==

Es folgt eine Definition der Axiome der natürlichen Zahlen, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.

1. ist eine induktive Menge
2. 0 ist kein Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.
3. Sind zwei natürliche Zahlen verschieden, d.h. n ≠ m, dann haben sie verschiedene Nachfolger, also n+1 ≠ m+1
4. Gilt für eine Menge X: 0 ∈ X und für jedes n ∈ X ist auch n+1 ∈ X, so enthält X alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)

Das erste Axiom zeigt deutlich die enge Verwandtschaft mit der obigen Definition der natürlichen Zahlen als Teilmenge von . Das letzte Axiom bezeichnet man auch das Induktions-Axiom, es bildet die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion. Peano selbst begann die natürlichen Zahlen in seinen Axiomen mit der 1 statt mit der 0 (laut dem Artikel auf [1] (http://www.mathematik.ch/mathematiker/axiome_von_peano.php)).

Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Variablen für Zahlen in dem Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt. Ersetzt man dieses Axiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe, so gelangt man zur Peano-Arithmetik.

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Merkmale von natürlichen Zahlen, er bewies aber nicht deren Existenz. Erst John von Neumann lieferte ein Beispiel für ein Modell der natürlichen Zahlen, indem er sie aus der leeren Menge her aufbaute:

.
.
.

Zur Erklärung: Eins ist die Menge, die ca. die leere Menge (=) als Element enthält; das ist nicht die leere Menge selbst!

Für die Menge der natürlichen Zahlen wird das Symbol N (fett dargestellt) benutzt. Weil dies handschriftlich ca. schwer darstellbar ist, schreibt man dann ein "Doppelstrich-N". Mit der Zeit hat sich das Symbol als Symbol für die natürlichen Zahlen (und ebenso die anderen Doppelstrich-Buchstaben für die anderen Zahlenbereiche) auch in dem Drucksatz durchgesetzt.

Da nicht überall die 0 als ein Element der natürlichen Zahlen angesehen wird, ist es sinnvoll, von positiven (1, 2, 3, ...) und nicht-negativen (0, 1, 2, ...) ganzen Zahlen zu sprechen.

In Texten, in denen die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null als genannt wird, wird zur Unterscheidung das Symbol oder für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null benutzt. Falls jedoch das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null eingeführt wurde, wird meist , oder geschrieben, wenn die Null explizit ausgeschlossen werden soll.

Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen dar: Jede natürliche Zahl außer der 0 lässt sich auf exakt eine Art als Multiplikation von Primzahlen zusammensetzen. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist dabei die Aussage des Fundamentalsatz der Arithmetik.

Die 1 ist keine Primzahl; ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, welches definitionsgemäß den Wert 1 hat.

ist auch die Syntax einer Programmiersprache!

Denn Dank der Standardnummerierung der berechenbaren (1-stelligen) Funktionen kann jeder natürlichen Zahl eine berechenbare (1-stellige) Zahlenfunktion zugeordnet werden.

Siehe Berechenbarkeitstheorie.

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